Perbezaan antara integral pasti dan tidak terbatas

Kalkulus adalah cabang penting matematik, dan pembezaan memainkan peranan penting dalam kalkulus. Proses songsang pembezaan dikenali sebagai integrasi, dan songsang dikenali sebagai integral, atau hanya meletakkan, kebalikan dari pembezaan memberikan integral. Berdasarkan hasil yang mereka hasilkan, integral dibahagikan kepada dua kelas., integral pasti dan tidak terbatas.

Pasti integral

Integral pasti dari f (x) adalah nombor dan mewakili kawasan di bawah lengkung f (x) dari x = a ke x = b.

Integral yang pasti mempunyai had atas dan bawah pada integral, dan ia dipanggil pasti kerana, pada akhir masalah, kita mempunyai nombor - itu adalah jawapan yang pasti.

Integral tidak terbatas

Integral f (x) yang tidak terbatas adalah fungsi dan menjawab soalan, "Apa fungsi apabila dibezakan memberi f (x)?"

Dengan integral yang tidak terbatas tidak ada had atas dan bawah pada integral di sini, dan apa yang akan kita dapatkan adalah jawapan yang masih ada xdi dalamnya dan juga akan tetap (biasanya dilambangkan oleh C) di dalamnya.

Integral tidak terbatas biasanya memberikan penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan.

Integral tidak terbatas adalah lebih daripada bentuk integrasi umum, dan ia dapat ditafsirkan sebagai anti-derivatif fungsi yang dipertimbangkan.

Katakan pembezaan fungsi F membawa kepada fungsi lain f, dan integrasi f memberikan integral. Secara simbolik, ini ditulis sebagai

F (x) = ∫ƒ (x) dx

atau

F = ∫ƒ dx

di mana kedua -duanya F dan ƒ adalah fungsi x, dan F boleh dibezakan. Dalam bentuk di atas, ia dipanggil integral Reimann dan fungsi yang dihasilkan mengiringi pemalar sewenang -wenang.

Integral yang tidak terbatas sering menghasilkan keluarga fungsi; oleh itu, integral tidak terbatas.

Proses integral dan integrasi adalah di tengah -tengah menyelesaikan persamaan pembezaan. Walau bagaimanapun, tidak seperti langkah -langkah pembezaan, langkah -langkah dalam integrasi tidak selalu mengikuti rutin yang jelas dan standard. Kadang -kadang, kita melihat bahawa penyelesaiannya tidak dapat dinyatakan secara eksplisit dari segi fungsi asas. Dalam hal ini, penyelesaian analitik sering diberikan dalam bentuk integral yang tidak terbatas.

Teorem asas kalkulus

Integral yang pasti dan tidak terbatas dikaitkan dengan teorem asas kalkulus seperti berikut: untuk mengira a pasti integral, Cari Integral tidak terbatas (juga dikenali sebagai anti-derivatif) fungsi dan menilai di titik akhir x = a dan x = b.

Perbezaan antara integral pasti dan tidak terbatas akan jelas apabila kita menilai integral untuk fungsi yang sama.

Pertimbangkan integral berikut:

okey. Mari kita buat kedua -duanya dan lihat perbezaannya.

Untuk integrasi, kita perlu menambah satu ke indeks yang membawa kita kepada ungkapan berikut:

Pada masa ini C hanya tetap kepada kita. Maklumat tambahan diperlukan dalam masalah untuk menentukan nilai tepat C.

Marilah kita menilai integral yang sama dalam bentuknya yang pasti i.e., dengan had atas dan bawah termasuk.

Secara grafik, kami kini mengira kawasan di bawah lengkung f (x) = y³ antara y = 2 dan y = 3.

Langkah pertama dalam penilaian ini adalah sama dengan penilaian integral yang tidak terbatas. Satu -satunya perbezaan adalah bahawa kali ini kita tidak menambah pemalar C.

Ungkapan dalam kes ini kelihatan seperti berikut:

Ini bertukar menjadi:

Pada dasarnya, kami menggantikan 3 dan kemudian 2 dalam ungkapan dan memperoleh perbezaan di antara mereka.

Ini adalah nilai pasti yang bertentangan dengan penggunaan malar C Terdahulu.

Mari kita meneroka faktor yang berterusan (berkenaan dengan integral yang tidak terbatas) dengan lebih terperinci.

Sekiranya perbezaan y³ adalah 3y², kemudian

∫3y²dy = y³

Walau bagaimanapun, 3y² boleh menjadi pembezaan banyak ungkapan yang sebahagiannya termasuk y³-5, y³+7, dll ... ini menunjukkan bahawa pembalikan tidak unik kerana pemalar tidak dapat dipertimbangkan semasa operasi.

Jadi secara umum, 3y² adalah perbezaan dari y³+C di mana C adalah malar. Secara kebetulan, C dikenali sebagai 'tetap integrasi'.

Kami menulis ini sebagai:

∫ 3y².dx = y³ + C

Teknik integrasi untuk integral yang tidak terbatas, seperti pencarian meja atau integrasi Risch, dapat menambah ketidakpastian baru semasa proses integrasi. Ketidakhadiran baru ini muncul kerana anti-derivatif boleh memerlukan pengenalan logaritma kompleks.

Logaritma Kompleks Mempunyai Ketidakhadiran Lompat Apabila hujah melintasi paksi sebenar negatif, dan algoritma integrasi kadang -kadang tidak dapat mencari perwakilan di mana lompatan ini dibatalkan.

Sekiranya integral yang pasti dinilai dengan pengkomputeran pertama yang tidak terbatas dan kemudian menggantikan sempadan integrasi ke dalam hasilnya, kita harus sedar bahawa integrasi tidak terbatas dapat menghasilkan ketidakpastian. Sekiranya ia berlaku, selain itu, kita mesti menyiasat ketidakselarasan dalam selang integrasi.